Exemples simples de processus stochastiques

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Cours
ophe4

Par ophe4

Mise à jour le 18-02-2016

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Cette fiche n'est pas un cours sur les processus stochastiques. Elle n'a nullement cette prétention. Elle propose tout simplement de considérer quelques situations qui relèvent de processus stochastiques. C'est une simple introduction à ces phénomènes.


Pour appréhender la théorie des processus stochastiques, vous trouverez, en annexe, des liens et des références bibliographiques.


Une solide connaissance des probabilités est préalablement nécessaire. N'hésitez pas à vous pencher sur les probabilités de niveau L1 à L3 (ou M1) si besoin.
Vous trouverez également des liens utiles en annexe. 

Retrouvez également tous les cours de mathématiques pour ingénieurs.

 

 

Plan du document :

 

I. Généralité

 

II. Exemples conduisant à des processus stochastiques

       I. Evolution du capital d'un joueur en fonction du temps
       II. Généalogie et lignée
       III. Série temporelle
       IV. Les files d'attentes

 

III. Annexe

 

IV. Bibliographie non exhaustive

 

 

 

 

 

I. Généralité

 

 

Nous venons de rappeler quelques grandes lignes sur les variables aléatoires qui, à chaque élément ω d'un univers Ω, associe une réalisation X(ω).

 

On peut alors définir un processus stochastique comme une famille(????????)????∈????de variables aléatoires indexées par le temps qui, à chaque ω, va associer non plus une valeur mais une fonction (ou encore trajectoire) (????????)????∈????.

 

 

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II. Exemples conduisant à des processus stochastiques

 

 

1. Evolution du capital d'un joueur en fonction du temps 

 

Considérons un joueur de casino avec une somme de départ Y?.

Dans le cadre d'un jeu très simple, il ne mise que 1€ à chaque étape et a une probabilité p de gagner et une probabilité 1-p de perdre.

Si on définit une suite de v.a (????????)?????1indépendantes et identiquement distribuées (iid), égale au gain du joueur à l'étape n, on peut donc écrire :

 

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2. Généalogie et lignée 

 

 

Dans le cadre de la généaologie, on peut modéliser l'évolution d'une lignée par une suite de v.a indiquant le nombre d'individus à la nième génération. 

 

Dans notre exemple, la transmission d'une lignée se fait par les fils. 

Si on s'intéresse à l'évolution d'une lignée à partir d'un seul individu, on pose Xo =1

Etudions de plus près premières générations d'un arbre généalogique dans lequel ne sont représentés que les fils. 

 

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3. Série temporelle 

 

Une série temporelle est une série d'observation indicée par le temps

 

Les séries temporelles sont des processus stochastiques. Elles peuvent illustrer le nombre de morts sur la route durant une période, le nombre de vente d'huîtres ou de champagne sur plusieurs années ou encore les valeurs de fermeture du CAC40.

 

Un des objectifs majeurs de l'étude d'une série temporelle est la prévision des réalisations futures afin de prendre les « bonnes » décisions ou du moins les meilleures compte tenu de l'étude de la série temporelle.

 

Ci-dessous, Un exemple de graphe commenté. L'objectif est d'étudier et de comparer l'évolution du prix du cuivre par différentes approches et méthodes.
Pour approfondir le sujet...suivez le lien ci-dessous.

 

 

 

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4. Les files d'attentes 

 

 

Une file d'attente peut être caractérisée par un certain nombre de guichets, un certain nombre de clients au guichet et un certain nombre de clients en attente d'être servis.

Le hasard intervient dans les arrivées des clients et dans le temps de passage au guichet (temps nécessaire pour être servi).

 

Si on note (????????)????le nombre de clients présents et en attente, on crée ainsi une suite de variables aléatoires à temps continu (????∈[0;+∞[) et à valeurs dans (nombre de clients en attente).

 

L'objectif est d'étudier l'évolution de ????(????)au cours du temps afin de définir le nombre de guichets à ouvrir pour satisfaire la clientèle dans un délai acceptable.

 

On crée ainsi un processus stochastique à étudier…

Ce type de file d'attente est définitivement ancré dans nos sociétés et dans nos infrastructures (téléphonie, serveurs, gares, services)

 

 

Le monde de l'industrie n'y échappe pas non plus toujours soucieuse d'améliorer la production et par conséquent de réduire autant que possible les délais d'attente entre deux actions dans un poste de travail par exemple.

 

L'objectif commun est l'étude du dimensionnement, de l'organisation par l'estimation des mesures comme :

• le temps moyen d'attente des clients

• le nombre moyen de clients dans la file d'attentes

• détermination de la probabilité que la file d'attente soit vide ou pleine ... 

 

Ces processus stochastiques peuvent être étudiés et régis par certaines lois comme celle de Little ou encore par une modélisation en chaîne de Markow ... (Cf annexe des liens et bibliographie).

 

 

 

 

III. Annexe

 

 

Liste non exhaustive des Liens utiles 

 

- Processus stochastiques par F. Bienvenue-Duheille (Université de Lyon I)

- Processus stochastiques par David Croupier (Université de Lille)

- Processus stochastiques et modélisation par Sylvain Rubenthaler L3 MIAGE, Université de Nice-Sophia Antipolis

 

 

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IV. Bibliographie non exhaustive

 

- Sabin Lessard : Processus stochastiques - cours et exercices corrigés. Ellipses, 2014.

 

- Dominique Foata, Aimé Fuchs Collection: Sciences Sup, Dunod : Calcul des probabilités

 

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