Etude d’un Modèle d’Equations Différentielles Stochastiques Couplées - Application Actuarielle

Etude d’un Modèle d’Equations Différentielles Stochastiques Couplées - Application Actuarielle

Etude d’un Modèle d’Equations Différentielles Stochastiques Couplées - Application Actuarielle
Cours
Julien

Par Julien

Mise à jour le 08-11-2010

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Nous consacrons la présente étude à présenter et analyser le comportement d’un modèle stochastique de prix d’actif financier couplé avec taux d’intérêt stochastique. Mais à part ’application de ce type de modélisation dans le domaine financier, plusieurs applications dans différents domaines sont à envisager notamment dans la climatologie (la modélisation de la température), en biologie (la modélisation de l’évolution d’une bactérie) … etc. Le choix des différents modèles se fait à la base d’une dynamique de Black & Scholes couplée avec un modèle de taux d’intérêt stochastique. Plusieurs dynamiques de taux d’intérêt seront présentées en détail dans le troisième chapitre.

Généralité sur les Processus Stochastiques

  • I-1 Généralité sur les processus
  • I-1-1 Processus stochastique
  • I-1-2 Processus stochastiques particuliers
  • I-1-2-1 Processus stationnaire
  • I-1-2-2 Processus à accroissement indépendant
  • I-1-2-3 Processus à accroissement stationnaire
  • I-1-2-4 Moments
  • I-2 Processus de diffusion
  • I-2-1 Historique
  • I-2-2 Mouvement Brownien simple
  • I-2-3 Mouvement Brownien standard
  • I-2-4 Mouvement Brownien avec drift
  • I-2-5 Processus d’Itô
  • I-2-6 Mouvement Brownien géométrique
  • I-3 Temps d’arrêt et martingale
  • I-3-1 Martingale à temps discret
  • I-3-2 Martingale à temps continu
  • I-3-4 Exemples de martingales browniennes
  • I-4 Le lemme d’Itô

 

Chapitre II Généralité sur les Equations Différentelles Stochastiques

  • II-1 Equations Différentielles Stochastiques
  • II-1-1 Equations différentielles stochastiques de type Itô
  • II-1-1.1 Equations différentielles de type linéaire
  • II-1-2 Equations différentielles stochastiques réductibles
  • II-1-2.1 Résolution des équations différentielles stochastiques réductibles d’Itô
  • II-1-3 Résolution d’EDS réductibles de Stratonovich
  • II-1-4 Existence et Unicité des solutions des équations différentielles stochastiques
  • II-1-4.1 Solutions fortes d’une équation différentielle stochastique
  • II-1-4.2 Solution forte et processus de diffusion
  • II-1-4.3 Solution faible et processus de diffusion
  • II-1-5 Théorème de comparaison
  • II-2 Changement de probabilité - Théorème de Girsanov
  • II-2-1 La formule de Cameron-Martin
  • II-2-2 Les deux théorèmes de Girsanov
  • II-2-3 Théorème de représentation prévisible

 

Chapitre III Simulation des Equations différentielles stochastiques

  • III-1 Introduction
  • III-2 La simulation
  • III-3 La simulation de Monte-Carlo
  • III-3-1 Description de la méthode de Monte-Carlo
  • III-3-2 Convergence et limites de la méthode
  • a- La loi forte des grands nombres et la méthode de Monte-Carlo
  • b- Théorème de la limite centrale et méthode de Monte-Carlo
  • c- Un exemple concret
  • III-4 Simulation des variables aléatoires
  • III-4-1 Simulation d’une loi uniforme sur [0,1]
  • III-4-2 Simulation d’autres variables aléatoires:
  • a- Simulation de variables gaussiennes
  • b- Simulation de vecteurs gaussiens
  • III-5 Simulation de processus stochastique
  • III-5-1 Simulation du mouvement brownien
  • III-5-2 Simulation des équations différentielles stochastiques
  • a- Méthode de discrétisation
  • b- Simulation des équations différentielles stochastiques
  • III-5-3 Méthode Numériques de résolution des équations différentielles ordinaires
  • 1- Approximation d’Euler déterministe
  • 2- Méthodes d’approximation implicites
  • 3- Méthode d’approximation d’ordre très élevé
  • 4- Méthode d’approximation d’ordre très élevé
  • 5- Erreur d’arrondie
  • III-5-4 Simulation stochastiques en temps discret
  • 1- Approximation d’Euler Stochastique
  • 2- Interpolation des approximations par dicrétisation du temps

 

Dynamique des Actifs Financiers sous un modèle de taux d’intérêt stochastique

  • IV-1 Dynamique des taux d’intérêt en temps continu
  • IV-1-1 Notions sur le Processus d’Ornstien-Uhlenbeck
  • IV-1-2 Modèle de Vasiçek
  • IV-1-3 Modèle de COX, INGERSOLL & ROSS (CIR)
  • IV-1-4 Limite de ces deux modèle
  • IV-2 Modelisation Des Actifs Financier
  • IV-2-1 Modélisation dans l’univers RISQUE-NEUTRE
  • IV-2-2 Le Modèle de Black et Scholes dans l’univers RISQUE-NEUTRE
  • IV-2-2-1 Le modèle de BLACK & SCHOLES avec modèle de taux d’intérêt de Vasiçek
  • IV-2-2-2 Le modèle de BLACK & SCHOLES avec modèle de taux d’intérêt de CIR
  • IV-2-3 Analyse statistique des résultats de simulations
  • IV-3 Transformation d’un système d’EDS en unmodèle linéaire
  • A. Application aux modèles stochastiques couplés sans sauts
  • B. Application aux modèles stochastiques couplés avec sauts
  • IV-4 Application Actuarielle

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