Modèle de Markowitz

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Cours
Julien

Par Julien

Mise à jour le 05-10-2010

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Au cours de la décennie 50, Harry MARKOWITZ, spécialiste américain de la recherche opérationnelle, apporta une contribution déterminante à la théorie financière moderne. Il a porté un intérêt tout particulier au problème de sélection optimale de portefeuilles de valeurs mobilières qui présente, d’une part, une structure hautement combinatoire, et dont le traitement réaliste requiert, d’autre part, la prise en compte explicite et rigoureuse de l’incertitude de l’avenir.

Ainsi c’est H. MARKOWITZ qui, en proposant en 1952 son célèbre modèle Moyenne-Variance, a donné le point de départ de la théorie moderne de la gestion de portefeuille. Selon ce modèle tout investisseur poursuit deux objectifs conflictuels qui sont la maximisation du rendement espéré et la minimisation du risque mesuré par la variance du rendement. Afin d’aborder le modèle de MARKOWITZ, le sujet sera traité en quatre chapitres. Le premier chapitre énumérera les fondements théoriques du modèle de MARKOWITZ, à savoir les hypothèses relatives aux actifs financiers et aux investisseurs, le second chapitre présentera les composantes du modèle, la rentabilité et le risque et leurs outils de mesure, le troisième chapitre, quant à lui, traitera du principe de la diversification, comme facteur limitatif du risque, et de ses limites, et enfin le quatrième chapitre sera consacré à la frontière efficiente.

 

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Plan du document :

 

Introduction

 

Chapitre 1 : Les hypothèses du modèle de MARKOWITZ

     I. Les hypothèses relatives aux actifs financiers
     II. Les hypothèses relatives aux comportements des investisseurs

 

Chapitre II : Présentation du modèle de MARKOWITZ

     I. Rentabilité et risque
     II. L'approche espérance - variance

 

Chapitre III : La diversification

     I. Portefeuille composé de deux actions
     II. Portefeuille composé de "n" actions
     III. Portefeuille à variance minimale
     IV. Limite de la diversification

 

Chapitre IV : La frontière efficiente

 

Conclusion

 

 

Introduction

Dans le langage courant, un portefeuille désigne un «ensemble de documents» qu'il s'agisse de cartes d'identité, de paiement, d'assuré ou alors, de chéquiers, de liquidité... appartenant à un individu. Mais, dans le domaine de la finance, un portefeuille peut être défini comme étant un «ensemble d'actifs financiers détenus par un agent économique». 

 

Cette notion de «portefeuille» peut alors varier et s'adapter à chaque individu et ce, en fonction de son domaine d'intervention ou d'activité. Ainsi, la création et la gestion d'un portefeuille est le fruit de l'arbitrage entre la «détention de la monnaie et la détention de créances voire d'actifs financiers». 

 

La théorie financière de l'entreprise résulterait de l'extension des modèles de gestion de portefeuille d'actifs financiers à l'entreprise. Les «actifs financiers» dans le cade de la gestion de portefeuille sont définis comme des «réserves de valeurs qui donnent droit à la perception future des liquidités, soit à une échéance déterminée, soit par la cession à un tiers, directement par l'intermédiaire d'un marché». Aussi, les actifs financiers sont à la fois porteurs d'une espérance de gain, d'une plus-value ou alors, à contrario, d'un risque futur.

 

A noter que la détention et la gestion d'un portefeuille ont pour objecttifs premier la maximisation de la richesse. La gestion de portefeuille fait intervenir certaines théories bien spécifiques, apparetenant à la théorie financière, afin d'éviter le moins de pertes possible mais plutôt une espérance de gains futurs.

Au cours de la décennie 50, Harry MARKOWITZ, spécialiste américain de la recherche opérationnelle, apporta une contribution déterminante à la théorie financière moderne. Il a porté un intérêt tout particulier au problème de sélection optimale de portefeuilles de valeurs mobilières qui présente, d’une part, une structure hautement combinatoire, et dont le traitement réaliste requiert, d’autre part, la prise en compte explicite et rigoureuse de l’incertitude de l’avenir.

 

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Chapitre I : Les hypothèses du modèle de MARKOWITZ

 

1. Les hypothèses relatives aux actifs financiers 

H 1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque : le return d’un actif financier pour toute période future est par conséquent une variable aléatoire, dont on fait l’hypothèse qu’elle est distribuée selon une loi normale1 , c’est- à-dire une distribution symétrique stable entièrement définie par deux paramètres, à savoir l’espérance mathématique de return et l’écart-type de la distribution de probabilité de return.

> Voir schéma 

 

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2. Les hypothèses relatives aux comportements des investisseurs

H 3 : Le comportement de tous les investisseurs est caractérisé par un degré plus ou moins prononcé d’aversion vis-à-vis du risque. Ce dernier est mesuré par l’écart-type de la distribution de probabilité du return.

H 4 : Les investisseurs sont rationnels : bien que leur fonction de préférence soit purement subjective, ils opèrent, en référence à celle-ci, des choix strictement transitifs.

H 5 : Tous les investisseurs ont le même horizon de décision, qui comporte une seule période2 .

Cette simplification, qui peut paraître exagérée, permet de mettre en œuvre un modèle de décision qui tient compte du caractère hautement combinatoire du portefeuille.

 

 

Chapitre II : Présentation du modèle de MARKOWITZ

 

1. Rentabilité et risque

La théorie financière met l'accent dans le cadre de la gestion de portefeuille sur deux critères essentiels, à savoir la rentabilité et le risque

 

a. La rentabilité

Le concept de rentabilité a des acceptations différentes selon les investisseurs. 

 

Quand nous parlons de la rentabilité obtenue par un investisseur sur une action, nous nous référons non seulement au dividende net que lui apporte ce titre, mais aussi, à la plus-value éventuelle qu'il en retire lors de la revente des actions. Ainsi, le taux de rentabilité comprend à la fois, le rendement ou le taux de rendement (dividende net rapporté au cours de l'action), et la plus-value (ou moins value) en capital rapporté au cours d'achat de l'action. 

 

> Voir formule

 

L'expression de ce taux de rentabilité est formulée compte tenu d'un avoir fiscal, et avant imposition sur le revenu des personnes physiques; c'est le rendement brut de l'investisseur. 

L'application de cette formule suppose que les distributions ont lieu en fin de chaque période, ou sinon, que les dividendes ne sont pas réinvestis avant la fin de la période. 

 

b. Le risque 

L’investissement en valeurs mobilières constitue le sacrifice d’un avantage immédiat ou, une absence de consommation immédiate en échange d’avantages futurs. Dans la mesure où le présent est connu avec certitude, l’investissement en valeurs mobilières constitue l’échange d’un avantage certain et immédiat contre un avantage futur et incertain.

Ainsi, le risque d’un actif financier pour un investisseur, peut être défini comme l’incertitude qui existe quant à la valeur de cet actif à une date future. L’objectif de tout investisseur étant de réaliser une certaine rentabilité sur les capitaux qu’il gère. Cependant, l’obtention de celle-ci n’est pas certaine à l’avance. La rentabilité réalisée (ex-post) est plus ou moins différente de celle espérée (ex-ante). Ainsi, on peut assimiler le risque d’un investissement à la dispersion ou variabilité de sa rentabilité autour de la valeur anticipée.

Cette variabilité est mesurée le plus souvent par l’écart type (ou identiquement son carré : la variance)

 

2. L'approche espérance-variance

a. L'espérance mathématique : mesure de la rentabilité espérée

Placé dans un univers incertain, l’investisseur ne peut pas calculer d’avance la rentabilité, car la valeur du titre en fin de période est aléatoire, ainsi que dans certain cas, la rémunération perçue durant la période.

L’investisseur utilise alors, une rentabilité espérée qui est la moyenne des rentabilités possibles pondérées par leur possibilité de réalisation.

 

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Chapitre III : La diversification

La diversification du portefeuille c'est l'investissement dans différentes classes d'actifs ou dans différents secteurs, cette diversification ne signifie pas seulement détenir beaucoup d'actifs. 

 

• Par exemple, si vous détenez 50 titres liés au secteur Informatique, votre portefeuille n’est pas diversifié. 

• Par contre, si vous détenez 50 titres qui sont éparpillés parmi 20 différentes industries, vous êtes en possession d’un portefeuille diversifié.

 

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Chapitre IV : La frontière efficiente

MARKOWITZ a développé, en 1959, une méthode de solution générale du problème de la structure des portefeuilles qui incorpore le traitement quantifié du risque. Cette méthode propose à l’investisseur un ensemble de portefeuilles « efficients » c’est-à-dire qui, pour une rentabilité globale possible, présentent le risque le plus faible, et vice-versa.

 

Cette méthode utilise uniquement les concepts de moyenne pour la rentabilité espérée et de variance pour l’incertitude associée à cette rentabilité, d’où le nom de critère « moyenne-variance » associé à l’analyse de MARKOWITZ.

 

Si on représente sur un graphique chaque action individuelle caractérisée par son risque et sa rentabilité espérée, on obtient la figure suivante : 

 

> Voir figure

 

En combinant ces actions en des portefeuilles on peut arriver à réduire le risque pour une même rentabilité. En les combinant en des proportions diverses on obtient un ensemble de portefeuilles représentés par la courbe qui joint les points représentatifs de deux actions A et B (figure ci-dessous).

 

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Conclusion

Le modèle de portefeuille de MARKOWITZ vise à la constitution rationnelle d'un portefeuille arbitrant entre les gains et les risques. Il s'agit d'une répartition de portefeuille par une méthode mathématique assurant : soit le meilleur rendement à risque donné, soit le plus petit risque à rendement donné.

L'étude de MARKOWITZ reste cependant très théorique, car elle prend l'hypothèse que l'on connaît le couple espérance de gain et risque de chaque titre, information qui ne se trouve évidemment pas telle quelle dans la presse économique, et qui fait une large part à l'appréciation du gestionnaire. On retrouve donc en amont la subjectivité qu'on essaie d'éliminer en aval. Au moins a-t-elle eu le mérite de constituer une première approche de la question.

Par ailleurs, si les concepts de cette analyse en termes de rentabilité et risque ont souvent révolutionné les méthodes de gestion de portefeuille, plus rares ont été les applications directes et automatiques du modèle de MARKOWITZ. En fait, il s’agit non pas de mécaniser les décisions de sélection de portefeuille mais plutôt d’utiliser ce modèle (comme tous les modèles) pour aider les hommes en charge de ce problème.

 

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