Splines Cubiques

Extrait du document

L’interpolation polynômiale présente plusieurs inconvénients :
– elle ne prend pas très bien en compte les fonctions assez "raides"
– elle converge mal en ce sens qu’augmenter le nombre de points n’améliore guère l’erreur au delà d’un certain degré.
Qualitativement, ces difficultés proviennent de la trop grande rigidité des polynômes. Du fait de cette rigidité, le saut brusque de 0 à 1 engendre des oscillations sur tout son intervalle de définition. Il faut donc avoir recours à une approximation utilisant des fonctions approchées (les éléments de ~ F) moins rigides. En d’autres termes, on demandera moins de régularité globale aux fonctions de ~ F. Ceci, outre les propriétés sympatiques des polynômes, va nous conduire à utiliser dorénavant des polynômes par morceaux. Concrètement, dans ce qui suit on considère une partition de l’intervalle [a; b] _ = f a = t0 < t1 < t2 < _ _ _ < tn??1 < tn = b g; dont on appellera les points ti de subdivision les noeuds.
On suppose donnée une famille de nombres réels fy0; : : : ; yng qui correspondent, comme précédemment, aux valeurs d’interpolation. Un idée assez naturelle consiste à considérer individuellement chacun des sous-intervalles [ti; ti+1] et à construire une approximation par morceaux : on obtient ainsi une fonction g vérifiant les conditions d’interpolation g(ti) = yi et qui dans chaque intervalle [ti; ti+1] coïncide avec un polynôme gi(t) de degré plus ou moins élevé.
Dans le cas où l’on choisit gi(t) de degré 1, cette technique consiste à relier les points (ti; yi) par des segments de droite : il s’agit de la façon la plus élémentaire d’utiliser ce qu’on appelle les fonctions splines. Dans ce cas la courbe d’équation y = g(t) est une ligne brisée, on a donc des points anguleux, la fonction g n’est pas dérivable aux abscisses ti.

1-Position du problème et définition des splines cubiques
2-Splines : illustration
3-Splines cubiques : détermination

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