Résistance des matériaux

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Cours
Elo

Par Elo

Mise à jour le 30-01-2013

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Ce cours d'introduction aux radiocommunications couvre avec minutie toutes les notions importantes autour du sujet.

Dans une première partie introductive, nous établirons une présentation assez générale du secteur des radiocommunications. Nous étudierons ensuite la notion de bruit en radiofréquence en abordait le bruit thermique, la puissance et la température du bruit mais aussi la densité spectrale du bruit.

Nous analyserons alors les systèmes RF c'est à dire les récepteurs superheterodynes et homodynes ainsi que les oscillateurs locaux.

Pour finir, nous nous attacherons à l'étude des composants électroniques en RF, qu'ils soient passifs, actifs ou spéciaux.

 

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Plan du document :

 

Chapitre 1 : Introduction à la résistance des matériaux

     1. But de la RDM

     2. Principe du calcul de RDM

     3. Hypothèses générales de la RDM

     3. Hypothèses générales de la RDM

     4. Efforts intérieurs (torseur de cohésion)

     5. Composantes du torseur de cohésion

     6. Vecteur contrainte en un point

     7. Sollicitations simples et composées

 

Chapitre 2 : La traction simple

     1. Définition

     2. Essai de traction

     3. Etude des déformations

     4. Etude des contraintes

     5. Relation Contrainte - Déformation

     6. Caractéristiques mécaniques d'un matériau

     7. Condition de résistance en traction

     8. Condition de rigidité en traction

     9. Concentration de contrainte

 

Chapitre 3 : La compression simple

     1. Définition

     2. Etrude des contraintes

     3. Etude des déformations

     4. Condition de résistance en compression

 

Chapitre 4 : Composants électroniques en RF

     1. Définition

     2. Essai de cisaillement

     3. Etude des déformations

     4. Etude des contraintes

     5. Relation Contrainte - Déformation

     6. Condition de résistance au cisaillement

 

Chapitre 5 : La torsion simple

     1. Définition

     2. Essai de torsion

     3. Relation Contrainte - Déformation

     4. Equation de déformation

     5. Relation Contrainte - moment de torsion

     6. Condition de résistance à la torsion

     7. Condition de rigidité

     8. Concentration de contrainte

 

Chapitre 6 : La flexion simple

     1. Définition

     2. Etude des contraintes

     3. Relation Contrainte - moment de flexion

     4. Conditions de résistance à la flexion

     5. Concentration de contrainte

     6. Déformation en flexion

     7. Condition de rigidité en flexion

     8. Théorème de superposition des déformations

 

Chapitre 7 : Sollicitations composées

     1. Flexion & torsion

     2. Traction & torsion

 

Chapitre 8 : Le flambement

     1. Etude de flambement

     2. Elancement

     3. Charge critique

     4. Contrainte critique

     5. Condition de résistance

 

 

Chapitre 1 : Introduction à la résistance des matériaux

Parmi les objectifs visés par l'étude mécanique des systèmes matériels est le dimensionnement des différents solides constituant le système. La première modélisation des solides, en solides globalement indéformables, permet, en appliquant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique, de déterminer les actions appliquées à ces solides. Une deuxième modélisation des solides, en poutres droites permet de prévoir leur comportement sous charge. (Déformations, résistance...) et cela grâce aux différentes lois de la résistance des matériaux. La résolution des problèmes posés par la résistance des matériaux fait appel à de nombreuses hypothèses, nécessaires pour obtenir rapidement des résultats exploitables.

 

1. But de la résistance des matériaux

La résistance des matériaux est l'étude de la ré déformation des solides. Elle permet de définir les formes, les dimensions et les matériaux des pièces mécaniques de façon à maîtriser leur résistance, leur déformation tout en optimisant leur coût.

 

> Voir exemples

 

2. Principe du calcul de RDM 

> Voir figure

Pour réaliser un calcul de résistance des matériaux, nous avons connaître les actions mécaniques exercées sur le mé déterminées dans l'étude de statique ou de L'étude de résistance des matériaux va permettre de définir les sollicitations et les contraintes qui en résultent.

 

3. Hypothèses générales de la RDM 

Pour faire une étude de résistance des matériaux, nous avons besoin de faire des hypothèses simplificatrices. Une fois que ces hypothèses sont définies, nous pouvons nous lancer dans l'étude. 

 

> Voir hypothèses

 

4. Efforts intérieurs (torseur de cohésion)

Soit une poutre E [ équilibre sous l'effet d'actions mécaniques extérieures. Pour me en évidence les efforts tra matière au niveau d'une sect nous effectuons une c imaginaire dans le plan P contenant S. Il la sépare en deux tronçons E (Partie gauche) et E2. (Partie droite) (Figure 1.3).

 

 

> Voir figure

 

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5. Composantes du torseur de cohésion 

 

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6. Vecteur contrainte en un point 

a. Vecteur contrainte :

Les actions mécaniques de cohésion sont les efforts que le tronçon E2 excerce sur le tronçon E1 à tarvers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces action mécaniques sont réparties en tout point M de S suivant une loi a priori inconnu. Notons df l'action mécanique au point M et dS l'élément de surface entourant le point. Soit n la normale issue de M au plan de la section S, orientée vers l'extérieur de la matière du tronçon E1. (figure 1.6).

 

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7. Sollicitaions simples et composées 

Une sollicitation est dite simple si le torseur de cohésion comprend une seule composante non nulle (Torsion par exemple) et une sollicitatio composée si le torseur de cohésion comprend plusieurs sollicitations simples (Traction + flexion par exemple).

 

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Chapitre 2 : La traction simple

1. Définition

Une poutre est sollicitée à l’extension forces directement opposées qui tendent à l’allonger ou si le torseur peut se réduire en G, barycentre de la section droite S, à une r par la normale à cette section. (Figure 2.1)

 

> Voir figure

 

2. Essai de traction

 

• Principe 

L'essai de traction est l'essai mécanique le plus classique. Il consiste à exercer sur une éprouvette normalisée deux efforts directement opposés croissants qui vont la déformer progressivement puis la rompre en vue de déterminer quelques caractéristiques du matériau de l'éprouvette. (Figure 2.2)

 

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3. Etude des déformations

 

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Chapitre 3 : La compression simple

1. Définition 

Une poutre est sollicitée à l'extension simple si elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à l'allonger ou si le torseur de cohésion peut se réduire en Gn barycentre de la section droit S, à une résultante négative portée par la normale de cette section (Figure 3.1) 
> Voir figure et hypothèse 

 

2. Contraintes dans une section droite 

Elles sont normales à (S) et uniformément réparties dans cette dernière.

> Voir schéma et formule 

 

3. Déformation d'une poutre

Dans le domaine élastique, les contr proportionnelles, Le raccourcissement ~t (mm) est

N : effort normal (N)

ta : longueur initiale de la poutre (mm)

S : section droite soumise à la compression (mm2)

E : module d'élasticité longitudinale ( module d'Young) (MPa)

 

3. Condition de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieur à la résistance pratique à la compression Rpc. On définit Rpc par le rapport suivant : 

> Voir rapport

 

Rec : résistanœ élastique à la compression

S : coefficient de sécurité (sans unité)

 

• Les aciers doux et mi-durs ont la même résistane élastique Re en traction et en compression 

• Le béton et la fonte ont des résistances élastiques très différentes en traction et en compression, ainsi que tous les matériaux non homogènes et non isotropes.

• Si le poids de la poutre verticale n'est pas négligeable (câbles d'ascenceurs de grands immeubles, piles de points, cheminées d'usine ...), la condition de résistance est : 

> Voir formule

 

P : poids total de la poutre (N).

 

Solides réels : 

Ce sont des solides qui s'écartent des conditions idéales

SECTIONS BRUSQUEMEN VARIABLES :

La section est de forme proche du carré ou du cercle, comme en tration, dans les zones de changement de section, la répartition des contraintes n'est plus uniforme. Cette concentration de : contrainte est un peu dangereuse en compression, elle est en général, négligée. 

 

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Chapitre 4 : Le cisaillement simple

 1. Définition

Une poutre est sollicitée au cisaillement simple lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées, perpendiculaire à la ligne moyenne, et qui tendent la cisailler; ou lorsque le torseur de cohésion peut se réduire en G, barycentre de la section droite S, à une résultante contenue dans le plan de cette section. (Figure 4.1)

 

> Voir figure 

 

2. Essai de cisaillement

 

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3. Etude des déformations

La section S cisaillée se déplace dans son plan. Ce déplacement est un glissement. Il est défini par un angle de glissement γ. Cet angle de Δγ et Δx tel que tg γ = Δγ/Δx

Dans le domaine élastique, γ reste faible, on peut confondre γ et tg γ d'où γ = Δγ/Δx

 

4. Etudes des contraintes

 

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5. Relation contrainte- Déformation

Dans la première portion de la courbe (Zone OA), il y a proportionnalité entre la charge et la déformation. La loi traduisant cette linéarité est :  τmoy Gγ 
G est le module d'élasticité transversale ou module de Coulomb exprimé en [MPa]. 

 

6. Condition de résistance au cisaillement

Pour une pièce sollicitée au cisaillement, la valeur de la contrainte tangentielle τmoy ne doit pas dépasser la valeur de la contrainte maximale admissible appelée encore résistance pratique au glissement Rpg (Rpge/S). S est le coefficient de sécurité.

D’où la condition de résistance d’une pièce au cisaillement : τ=< Rpg

 

 

 

Chapitre 5 : La torsion simple

 

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Chapitre 6 : La flexion simple

1. Définition

Une poutre est sollicitée à la flexion simple si le torseur associé aux efforts de cohésion peut se réduire en G, barycentre de la section droite S, à une résultante contenue dans le plan de la section et à un moment perpendiculaire à cette dernière. Un exemple de poutre sollicitée à simple est illustré sur la figure 6.1

 

2. Etude des contraintes

Lorsque la poutre fléchit, (Figure 6.2) la section droite pivote d'un angle ΔΦ et on constate que : 

• Les fibres moyennes ne changent pas de longueur (la contrainte est donc nulle) 

• Les autres fibres s'allongent ou se compriment. (Figure 6.3). Les contraintes normales engendrées sont proportionnelles à la distance qui les séparent du plan des fibres moyennes, d’où :

σM=-EΦ y

 

3. Relations entre contrainte et moment de flexion

 

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4. Condition de résistance à la flexion

La contrainte σx doit rester inférieure à la contrainte pratique à l'extension Rpe telle que Rpe=Re/S

> Voir formule 

 

5. Concentration de contrainte 

Tout changement brusque de section (rainure de clavette, gorge,épaulement...) entraîne une concentration de contrainte au niveau de la section et la condition de résistance vue ci dessus est modifiée. 

> Voir exemple 

 

6. Déformation en flexion

a. Déformée 

On appelle déformée, la courbe de la ligne moyenne de la poutre après déformation. ( Figure 6.6)

L'équation de la déformée est : y=f(x)

y est la flèche au point d'absisse x 

Les dérivés première et seconde sont notées y' et y"

 

b. Relation entre flèche et moment fléchissant 

On peut calculer la flèche à partir de l'équation de la déformée déterminer par double intégration de l'équation du moment fléchissant. 


7. Condition de rigidité en flexion

On calcule la flèche maximale et on vérifie ensuite que cette flèche reste inférieure à une valeur limite flim : ymax ≤ flim

 

8. Théorème de superposition des déformations

Théorème : 

Pour une poutre sollicité dans son domaine élastique, la déformation due à un système de charges est égale à la somme des déformations dues à l'application successive des charges constituant le système de chargement appliqué initialement.

Remarque : 

Ce principe permet de décomposer un système complexe de n forces, en n systèmes simples, avec une force appliquée. On trouve ensuite chaque valeur d flèche et on fait la somme algébrique pour retrouver la flèche du système initial.

 

 

Chapitre 7 : Sollicitations composées

1. Flexion torsion

a. Définition

Un arbre est soumis à une sollicitation de flexion torsion si le torseur associé aux efforts de cohésion peut se réduire en G, barycentre de la section droite S, à un moment de torsion et à un moment de flexion (figure 7.1)

 

b. Moment idéal de flexion

 

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2. Traction torsion

a. Définition

Un solide est soumis à une sollicitation de traction_torsion si le torseur associé aux efforts de cohésion peut se réduire en G, barycentre de la section droite S, à un moment de torsion et à un effort normal (figure7.2).

 

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Chapitre 8 : Le flambement

1. Etude du flambement théorie l'EULER

Considérons une poutre de longueur importante l et rectiligne soumise en A et B, à deux glisseur (Liaisons pivot d'axes (A,z) et (B,z)), directement opposés, qui augmentent progressivement. 

On remarque que si : 

• Si Fc : la poutre reste sensiblement rectiligne, elle se : raccourcit et peut être calculée en compression 

• Si F = Fc : la poutre fléchit et prend une position d'équilibre élastique

• Si F>Fc : instabilité. Le poutre fléchit brusquement jusqu'à la rupture. C'est du flambage. 
Fest la charge critique d'Euler

 

La flexion se produit selon la direction perpendiculaire à l'axe de la section (S) qui donne le moment quadratique le plus faible 

 

2. Enlancement 

La compression est remplacée par du flambage si la poutre est longue et ses dimensions transversales sont faibles. Cette proportion est caractérisée par : λ = L/P

λ : Élancement d'une poutre (sans unité)

L: Longueur libre de flambage [mm]

P : Rayon de giration de la section [mm] définit par 

> Voir document 

 

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3. Charge critique 

 

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4. Contrainte critique 

 

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5. Condition de résistance

 

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Les avis sur cet article
schahrazed
merci il set très riche en informations merciiiiiiiiii fartement
Par

schahrazed

- le 02 Mai 15h43
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