Extrait du document

 Ces quelques pages ne constituent pas un cours à proprement parler et n’a pas la prétention d’en être un. L’objectif est de rappeler les éléments fondamentaux des probabilités, les axiomes, définitions et théorèmes nécessaires à la construction d’un espace probabilisable puis probabilisé afin de poursuivre et surtout d’approfondir la théorie des probabilités (variables aléatoires, lois de probabilités et les processus stochastiques).

Afin de rendre le contenu accessible par le plus grand nombre, de multiples exemples sont donnés et les contenus trop complexes volontairement écartés.

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Plan du document :

I. Expérience aléatoire et événements

       I. Expérience aléatoire univers et issus
       II. Evenements
       III. Evenements particuliers
       IV. Système complet

II. Espace probabilisable - Espace probabilisé

       I. Notion de tribu
       II. Espace probabilisable
       III. Probabilité sur (Univers ; F)
       IV. Propriétés élémentaires
       V. Evenements indépendants

I. Expérience aléatoire et événements

1. Expérience aléatoire univers et issus 

Définition :

Une expérience est dite aléatoire si :  

• elle conduit à des issus possibles qu'on peut nommer

• on ne sait pas laquelle de ces issues va se réaliser 

Exemples :

Lancer un dé non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et noter le résultat obtenu constitue une expérience aléatoire.

par contre, lancer un dé dont les six faces sont numérotées 3 par exemple n'est plus une expérience aléatoire car ici, on connaît à l'avance le résultat. 

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2. Evenements 

Introduction : 

Lors d'une expérience aléatoire, certains faits peuvent se réaliser ou pas : ce sont des événements. Nous allons nous y intéresser de plus près en commençant par donner un exemple concret puis une définition mathématique. 

Exemple : 

Si nous reprenons l'expérience aléatoire consistant à jeter un dé et à noter le résultat obtenu, il est possible d'obtenir un nombre impair ou pas.

Notons A : « Obtenir un nombre impair » cet événement.

L'événement A est réalisé si le résultat obtenu est soit 1 soit 3 soit 5.

Les résultats 1 ; 3 et 5 sont appelés les issues ou les éventualités.

Nous confondrons alors l'événement et l'ensemble des issues possibles à la réalisation de cet événement. Ici, A = {1;3;5}

Définition : 

• un événement est une partir ( ou sous-ensemble) de l'univers 

• on dit que cet événement est réalisé si l'issue de l'expérience est l'une des éventualités qui le compose 

3. Evenements particuliers 

Définition : 

• Un événement qui est toujours réalisé est dit certain. Il est donc représenté par l'Univers 

• Un événement qui n'est jamais réalisé est dit impossible et noté par l'ensemble vide .

• un événement constitué d'une unique issue est appelé événement élémentaire et noté par un singleton {a}.

Exemples : 

• L'événement A " Obtenir un nombre entier inférieur à 7" est A = {1;2;3;4;5;6;} . C'est un événement certain.

• Les 6 événements élémentaires sont {1}, {2}, {3}, {4}, {5} et {6}.

• L’événement B : « Obtenir un nombre impair » est B = {1 ; 3 ; 5}. Il est composé de trois issues.

• L’événement C : « Obtenir 8 » est un événement impossible. C = 0

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4. Système complet 

Définition : 

Soit A1,A2,..,An une suite au moins dénombrables d'événements sur un univers. On dit que A1,A2,..,An forment un système complet d'événements si A1,A2,..,An constituent une partition de Ω

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II. Espace probabilisable - Espace probabilisé

1. Notion de tribu

Définition :

On considère un Univers (...)

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2. Espace probabilisable

Définition :

On appelle espace probabilisable le couple univers et ;F où F constitue une tribu de parties de Univers .

Remarque :

Un espace probabilisable est un espace que l'on va pouvoir munir d'une probabilité

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